数量关系:由一道题目引出四种解法的思考

发表日期:2020-09-16 | 来源 :
 

各位同学大家好,相信大家在备考数量关系时,经常对于某些题目感到很纠结,这类题目本身的解法比较多,同学们往往并不知道哪种解法才是最合适的。不知道亲爱的同学们是否也有这样的困惑呢?其实,很多难题的解法本身就有好几种,只有在平时做题时多去探索、多去思考,在考场上你的脑海中才能冒出一种为你所用。那么,今天老师就选择一道难度中等偏上的题目,通过讲解清楚该题目的四种解法,以求启迪同学们的做题灵感,拓宽同学们的思考方式,帮助各位同学在省考中能脱颖而出,更胜一筹!

那么,下面老师就会通过这道例题来引出四种解法的思考,和大家一起来探讨什么样的想法,才会是考场上最适合我们的。相信只要你仔细地学完这道例题,你的困惑将会得到有效的解答。那接下来,就请大家跟着老师好好学,读完这篇文章,你应该会有所收获!

一、例题精讲

首先,我们一起来看一下这道例题:

【例】经调研,某种商品按照50元/个定价销售时,每天可以卖出800个。在此基础上,单价每降低1元,每天就可以多卖50个。问,当定价为多少元/个时,该商品的单日销售额可以达到最大?

A.37 B.35 C.33 D.31

对于这样一道题目,属于利润问题中的统筹类利润,其难度为中等偏上,其实它的解法和思路还是比较多的,这边主要提供四种常见的思路去帮助大家思考。

【解法1】对于这道题,选项中肯定有一个是正确答案,因此可以采用代入选项的方法。如果答案是A项,即37,那么就降低了13元/个,每天可以多卖出650个,单日的销售额即为37×(800+650)=37×1450=53650元;如果答案是B项,即35,那么就降低了15元/个,每天可以多卖出750个,单日的销售额即为35×(800+750)=35×1550=54250元;如果答案是C项,即33,那么就降低了17元/个,每天可以多卖出850个,单日的销售额即为33×(800+850)=33×1650=54450元;如果答案是D项,即31,那么就降低了19元/个,每天可以多卖出950个,单日的销售额即为31×(800+950)=31×1750=54250元。通过代入选项后,比较结果,会发现当选择C项(即定价为33元)时,单日的销售额是四个选项中最大的,那么它一定也是单日销售额可达到的最大值,符合题干要求。选C项。

但是这种解法的话,主要的问题在于最后一步的乘积不是特别好算,倘若不去计算,直接去比较乘积的大小,也不太好比。我们不禁会思考,那能不能用方程去求解呢?

【解法2】通过题干描述,若假设定价降低了X元,则每天可多卖50X个,有:

y=(50-x)×(800+50x)

因此,只要令该一元二次表达式的结果y取得最大值就可以了。当然,我们可以将该表达式整理成标准公式y=ax2+bx+c,此时满足要求的x=-(b/2a),算出结果即可。

整理如下:y=-50x2+1700x+40000,满足要求的x=-(b/2a)=-[1700/(-100)]=17元,故降价17元是最优取值,定价应为50-17=33元。选C项。

这种解法主要是采用解一元二次方程的方式去完成的,做法本身没有错误,但它的主要问题是在我们把原式整理成标准公式时,可能会耽误时间,特别是数字较大时更是非常耗时。那么,有没有更快的解方程思路呢?还有两种:

【解法3】通过题干描述,若假设定价降低了X元,则每天可多卖50X个,有:

y=(50-x)×(800+50x)

因此,只要令该一元二次表达式的结果y取得最大值就可以了。此时可以利用均值不等式的思想,先让两括号的和为定值,再让两括号直接相等就可以了。我们来尝试一下:

y=(50-x)×(800+50x)=(50-x)×(16+x)×50

此时两括号的和为定值66,令50-x=16+x即可,解得x=17。故降价17元是最优取值,定价应为50-17=33元。选C项。

该解法主要是采用了均值不等式的思想,如何让A×B的值取最大?在A+B为定值的前提下,当且仅当A=B时,A×B取最大。我们将原式中的两括号分别看作A与B,故有此一解。

【解法4】通过题干描述,若假设定价降低了X元,则每天可多卖50X个,有:

y=(50-x)×(800+50x)

因此,只要令该一元二次表达式的结果y取得最大值就可以了。我们可以采用初高中学过的“降次”的思路,已知y是一条向下弯曲的轴对称曲线,x为其顶点,我们可以先令y=0,得到(50-x)=0和(800+50x)=0,解得x1=50和x2=-16。根据曲线图形,x一定恰好是x1和x2的中点,故x=(x1+x2)/2=(50-16)/2=17元。故降价17元是最优取值,定价应为50-17=33元。选C项。

这最后的第四种解法是通过因式分解的“降次”思想去操作的,通过数图结合的方式,迅速判断出结果x所处的位置并加以求解。总的来说,应该是本题最快的解法了。

二、总结分析

那么对于上述的这道例题,我们使用了四种方法进行求解。他们之间存在什么样的联系呢?我们又应该怎么去取舍呢?

首先是代入排除的方法,代入排除法在答案刚好是题目所求的量时,可以通过代入选项去进行迅速求解,它的弊端主要是容易出现计算量较大的问题,需要根据具体题目选择是否要用。第二种方法就是一元二次方程法的求解,我们采用了三种不同的求解方法,包括了标准公式法、均值不等式、因式分解法。那么三种方法在解这道题的速度上应该是循序渐进的,但是理解上的难度也逐级加深。

我们回到文章开头的问题,哪种解法才是最合适的呢。其实老师认为,在考场上解数量关系,靠的其实是一种题目敏感性,或者是做题的“本能”,那么你脑海里第一个出现的方法,当然就是比较好的方法。但是,在平时接触数量关系题目时,还是希望大家可以发散思维,多去思考几种不同的解题方式,只有这样,在考试时你才能够在众多掌握的方法中迅速想出一种,才能迅速抢下数量关系的分值!

以上便是我们对这道题目的讲解以及一些真心想给同学们说的道理,那么希望同学们可以再去多做几道题目,体验一下我们总结的方法和理论,相信你以后做题会更加得心应手,更加信手拈来。

那么这便是本期想跟大家分享的内容,希望大家好好学习,我们下期再见!

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